Göm meny

Diskreta fouriertransformen, DFT

( ⬆︎⬆︎ Klicka på rubriken ovan för att se videon på YouTube – eller se nedan  ⬇︎⬇︎ )

 
 
Härledning av den diskreta fouriertransformen, DFT, och motsvarande inverstransform IDFT. Härledningen bygger på egenskapen att en sampling i tidsdomänen resulterar i en periodisk upprepning i frekvensdomänen och vice versa.

Den första halvan av videon utgör en motiverande bakgrund till DFT:n, som bland annat syftar till att ge en intuitiv förståelse för varför DFT:n och IDFT:n "ser ut" som de gör. Detta är en utvidgning av tidigare moment i Signaler & system-kursen:
  • 0:00Sampling av tidssignalen x(t), vilket ger x[n], resulterar i en periodisering av dess fouriertransform (frekvensspektrum) X(𝜔).
  • 15:16Sampling av fouriertransformen X(𝜔) resulterar i en periodisering av dess inverstransform x(t).
I den andra halvan av videon kommer vi in på den diskreta fouriertransformen och dess invers – DFT & IDFT:
  • 24:21Sampling av en periodisk tidskontinuerlig signal resulterar i en periodisering av dess frekvensdiskreta spektrum, dvs. dess fourierseriekoefficienter.
    • Detta samband ger att den samplade periodiska signalen utgör en invers diskret fouriertransform, IDFT.
  • 39:37Sampling av den periodiska frekvenskontinuerliga fouriertranformen av x[n] resulterar i en periodisering av x[n].
    • Detta samband ger att det samplade periodiska frekvensspektrumet  utgör en diskret fouriertransform, DFT.


Videosammanfattning



Från 0:00: Inledningsvis utgår vi från tidsdomänen, där vi har en tidskontinuerlig signal x(t), som har ett frekvenskontinuerligt spektrum (en fouriertransform) X(𝜔 ). Här visas det som vi redan känner till från föregående föreläsning:
  1. När x(t) samplas med sampelperioden T sek, så erhålls den tidsdiskreta signalen x[n], med frekvenskontinuerlig fouriertransform X¯(𝜔) (X¯ = X med streck över i videon).

  2. Som en konsekvens av samplingen i tidsdomänen, så sker en periodisering i frekvensdomänen, sådan att X¯(𝜔) är lika med en skalad periodisk upprepning av X(𝜔).
    Perioden är lika med
    𝜔s = 2𝜋/T och är därför proportionell mot 1/sampelperioden (𝜔s 1/T).

    Detta känner vi igen, från föregående föreläsning, som Poissons summationsformel.
    Om samplingsteoremet är uppfyllt så sker inget överlapp av de periodiska upprepningarna i frekvensdomänen.




Från 15:16 undersöks/härleds i stället vad som händer i tidsdomänen när man samplar i frekvensdomänen. Vi utgår från samma förhållande som i den inledande delen ovan – men nu utgående från frekvensdomänen, där vi har ett frekvenskontinuerligt spektrum (en fouriertransform) X(𝜔) till en tidskontinuerlig signal x(t):
  1. När X(𝜔) samplas med sampelperioden 𝜔0 rad/sek, så erhålls det frekvensdiskreta spektrumet Dn, som vi känner igen som komplexa fourierseriekoefficienter till en T0-periodisk signal xTo(t).

  2. Som en konsekvens av samplingen i frekvensdomänen, så sker en periodisering i tidsdomänen, sådan att xTo(t) är lika med en skalad periodisk upprepning av x(t).
    Perioden är lika med
    T0 = 2𝜋/𝜔0 och är därför proportionell mot 1/sampelperioden (T0 1/𝜔0).

    Om spektralsamplingsteoremet är uppfyllt så sker inget överlapp för de periodiska upprepningarna i tidsdomänen.




Från 24:21 undersöks/härleds vad som händer i frekvensdomänen när man samplar en periodisk tidskontinuerlig signal i tidsdomänen.

I tidsdomänen utgår vi från en tidskontinuerlig T0-periodisk signal xTo(t) som, vilket vi redan känner till, har ett frekvensdisktret spektrum – nämligen de komplexa fourierseriekoefficienterna Dn.
(Här används r i stället för n som indexvariabel för de komplexa fourierseriekoefficienterna, eftersom n är "upptagen" – den används som tidsvariabel i tidsdomänen):
  1. När xTox  (t) samplas med sampelperioden T sek, så erhålls den tidsdiskreta N0-periodiska signalen xn = xTo(nT).

  2. Som en konsekvens av samplingen i tidsdomänen, så sker en periodisering i frekvensdomänen, sådan att Xr är lika med en skalad N0-periodisk upprepning av Dr.
    Perioden är lika med
    N0 = T0/T och är därför proportionell mot 1/sampelperioden (N0 1/T).

    Här kan man också, liksom i de två inledande delarna ovan, formulera ett samplingsteorem som beskriver om ett blir överlapp av de periodiska upprepningarna av Dr eller ej, men det fokuserar vi inte på här.

Här finns några nya centrala resultat:
  • xn definieras som den inversa diskreta fouriertransformen av Xr, dvs. xn = IDFT{Xr }.

  • Både xn  och Xr är N0-periodiska, där följande samband gäller:
    T0 = N
    0T  ⟹  𝜔s = N0𝜔0,  där 𝜔s = 2𝜋/T är lika med sampelvinkelfrekvensen.




I videons fjärde och avslutande del, från 39:37, undersöks/härleds slutligen vad som händer i den tidsdiskreta tidsdomänen när man samplar ett frekvenskontinuerligt 𝜔s-periodiskt spektrum X¯(𝜔) i frekvensdomänen. I tidsdomänen har vi en allmän tidsdiskret signal x[n]:
  1. När X¯(𝜔) samplas med sampelperioden 𝜔0 rad/sek i N0 sampel per period, så erhålls ett frekvensdiskret N0-periodiskt spektrum, som vi i det föregående avsnittet kallade Xr.

  2. Som en konsekvens av samplingen i frekvensdomänen,  så sker en periodisering i tidsdomänen, sådan att xn är lika med en periodisk upprepning av x[n].
    Perioden är lika med
    N0 = 𝜔s /𝜔0  och är därför proportionell mot 1/sampelperioden (N0 1/𝜔0).

    Även här kan man formulera ett spektralsamplingsteorem som beskriver om ett blir överlapp för de periodiska upprepningarna av x[n] eller ej, men det fokuserar vi inte på här.

I videon kommer vi slutligen fram till följande centrala resultat:
  • Xr  definieras som den diskreta fouriertransformen av xn,  dvs. Xr = DFT{xn }.

Följande definition av IDFT och DFT gäller alltså:




Senast uppdaterad: 2022-11-15