Videor – Föreläsning 4
Se
nedanstående videor innan aktuell föreläsning, i den ordning de
visas nedan!
I första hand rekommenderas du att se videorna på YouTube, genom att klicka på rubriken ovanför varje video.
Om du vill fräscha upp dina grundläggande kunskaper, så kan du se följande fyra videoklipp som en repetition inför föreläsningen (från TSDT84 HT1, fö 2). Videorna finns även upplagda i spellistan Signaler & System – Fouriertransformen, härledning och ett exempel på YouTube, i den ordning de bör ses.
I videorna ser du vilken typ av beteckningar som används i Signaler & system-kursen och boken, så jag rekommenderar alla studenter att åtminstone kolla upp detta i videorna.
Fouriertransform från
fourierserie, härledning
Härledning av fouriertransformen till en icke-periodisk signal utgående från den komplexa fourierserien för en motsvarande periodisk signal. Samtidigt erhålls den inversa fouriertransformen.
Fouriertransform från
fourierserie, exempel
Här visas ett illustrerande exempel på hur de normaliserade komplexa fourierseriekoefficienterna för en periodisk signal övergår till fouriertransformen till signalen när periodtiden går mot oändligheten.
Beräkning av fouriertransformen
till en exponentialekvation
Här visas hur beräkningen av fouriertransformen till en högersidig reellvärd tidskontinuerlig exponentialfunktion går till.
Därefter, från 5:41, beräknas och skisseras signalens amplitudspektrum och fasspektrum – en grafisk beskrivning av fouriertransformen.
Fouriertransformen av
en fyrkantpuls
Exempel på hur fouriertransformen av en fyrkantpuls (rect-funktionen) beräknas samt definitionen av sinc-funktionen (som utgör den beräknade transformen).
Tolkning av
fouriertransformen
Här visas ett exempel på fouriertransformen av en signal samt dess amplitudspektrum och fasspektrum, vilka kan vara till hjälp vid en tolkning av transformen. Sedan ritas Nyquistdiagrammet för denna fouriertransform – en graf i det komplexa talplanet som visar (den komplexvärda) fouriertransformens värde för alla vinkelfrekvenser w.
Fouriertransformen –
egenskap vid tidsskalning
Jag går igenom fouriertransformens egenskap vid tidsskalning av signalen/tidsfunktionen. Centralt är att frekvensskalningen är omvänt proportionell mot tidsskalningen, dvs. ju mindre utbredning av signalen i tidsdomänen desto större utbredning av dess spektrum i frekvensdomänen (och tvärtom).
Fouriertransformen –
egenskap vid tidsförskjutning
Videon beskriver hur fouriertransformen av en signal ändras när den signalen tidsförskjuts. Som signalexempel visas en fyrkantpuls (rect) och dess fouriertransform och här visas att tidsförskjutningen bara påverkar signalens fasspektrum, inte dess amplitudspektrum.
Signalenergi och
Parsevals formel
I videon definieras energin för en tidskontinuerlig signal och Parsevals formel härleds. En signal med ändlig energi brukar kallas för en energisignal, vilket inte kom med i videon.
Fouriertransformen av
en dirac och av en konstant
Här visas beräkningen av fouriertransformen av en dirac-impuls samt fouriertransformen av en konstant (x(t)=1). I det senare fallet existerar inte fouriertransformen enligt grunddefinitionen, eftersom x(t) inte är absolutintegrerbar. Dock existerar den i distributionsmening, då vi accepterar dirac:er i frekvensdomänen.
Fouriertransformen av
en cosinus
Här beräknas fouriertransformen av cos(w0*t), vilket är två diracimpulser – en vid vinkelfrekvensen w=–w0 och en vid w=w0 – där båda dirac:erna har vikten pi. Detta är en fouriertransform i distributionsmening.
Fouriertransformanalys av LTI-system
Faltningsteoremet och
frekvensfunktionen
Här härleds faltningsteoremet, med tillämpning i linjära tidsinvarianta system (LTI-system). Samtidigt definieras frekvensfunktionen H(w) för stabila LTI-system.
Amplitudkaraktäristik
och faskaraktäristik för LTI-system
Amplitudkaraktäristiken |H(w)| och faskaraktäristiken arg H(w) för ett stabilt LTI-system erhålls/definieras. Här visas även ett grafiskt exempel på hur amplitudspektrumet för LTI-systemets utsignal erhålls som |Y(w)| = |X(w)|∙|H(w)|, där |X(w)| är insignalens amplitudspektrum.
Fouriertransformanalys
av ett LTI-system som beskrivs av en differentialekvation
Ett räkneexempel: För ett LTI-system, där förhållandet mellan utsignalen och insignalen beskrivs av en differentialekvation, så visas följande för LTI-systemet (klicka på tiderna för att komma direkt till motsvarande deluppgift):
I första hand rekommenderas du att se videorna på YouTube, genom att klicka på rubriken ovanför varje video.
- På YouTube finns länkar i beskrivningstexten till de olika avsnitten i videorna, vilket gör det enklare att hitta och se ett avsnitt i taget.
- Det är även möjligt att se videorna direkt, här på webbsidan.
Repetition, fouriertransformen
Du förväntas att redan ha det mesta om fouriertransformer i kap. 7.1–7.3 som förkunskap.Om du vill fräscha upp dina grundläggande kunskaper, så kan du se följande fyra videoklipp som en repetition inför föreläsningen (från TSDT84 HT1, fö 2). Videorna finns även upplagda i spellistan Signaler & System – Fouriertransformen, härledning och ett exempel på YouTube, i den ordning de bör ses.
I videorna ser du vilken typ av beteckningar som används i Signaler & system-kursen och boken, så jag rekommenderar alla studenter att åtminstone kolla upp detta i videorna.
Fouriertransform från
fourierserie, härledning
Härledning av fouriertransformen till en icke-periodisk signal utgående från den komplexa fourierserien för en motsvarande periodisk signal. Samtidigt erhålls den inversa fouriertransformen.
Fouriertransform från
fourierserie, exempel
Här visas ett illustrerande exempel på hur de normaliserade komplexa fourierseriekoefficienterna för en periodisk signal övergår till fouriertransformen till signalen när periodtiden går mot oändligheten.
Beräkning av fouriertransformen
till en exponentialekvation
Här visas hur beräkningen av fouriertransformen till en högersidig reellvärd tidskontinuerlig exponentialfunktion går till.
Därefter, från 5:41, beräknas och skisseras signalens amplitudspektrum och fasspektrum – en grafisk beskrivning av fouriertransformen.
Fouriertransformanalys av signaler
Videorna finns även upplagda i spellistan Signaler & System – Fouriertransformanalys av signaler & system på YouTube, i den ordning de bör ses. De flesta av videorna är från en annan av mina kurser i våras, då jag började använda den här inspelningstekniken.Fouriertransformen av
en fyrkantpuls
Exempel på hur fouriertransformen av en fyrkantpuls (rect-funktionen) beräknas samt definitionen av sinc-funktionen (som utgör den beräknade transformen).
- Inledning (0:00)
- Definition av sinc-funktionen (6:43)
Tolkning av
fouriertransformen
Här visas ett exempel på fouriertransformen av en signal samt dess amplitudspektrum och fasspektrum, vilka kan vara till hjälp vid en tolkning av transformen. Sedan ritas Nyquistdiagrammet för denna fouriertransform – en graf i det komplexa talplanet som visar (den komplexvärda) fouriertransformens värde för alla vinkelfrekvenser w.
- Inledning (0:00)
- Nyquistdiagrammet (5:42)
Fouriertransformen –
egenskap vid tidsskalning
Jag går igenom fouriertransformens egenskap vid tidsskalning av signalen/tidsfunktionen. Centralt är att frekvensskalningen är omvänt proportionell mot tidsskalningen, dvs. ju mindre utbredning av signalen i tidsdomänen desto större utbredning av dess spektrum i frekvensdomänen (och tvärtom).
- Härledning egenskapen utgående från fouriertransfomen (0:00)
- Härledning av egenskapen utgående från den inversa fouriertransformen (11:01)
Fouriertransformen –
egenskap vid tidsförskjutning
Videon beskriver hur fouriertransformen av en signal ändras när den signalen tidsförskjuts. Som signalexempel visas en fyrkantpuls (rect) och dess fouriertransform och här visas att tidsförskjutningen bara påverkar signalens fasspektrum, inte dess amplitudspektrum.
- Härledning av fouriertransformen för en tidsförskjuten signal (0:00)
- Amplitudspektrumet och frekvensspektrumet för en
tidsförskjuten rect-funktion beräknas och ritas (4:22)
Signalenergi och
Parsevals formel
I videon definieras energin för en tidskontinuerlig signal och Parsevals formel härleds. En signal med ändlig energi brukar kallas för en energisignal, vilket inte kom med i videon.
- Signalenergi för en signal – definition (0:00)
- Härledning av Parsevals formel (1:36)
- Parsevals formel och tolkning (7:03)
Fouriertransformen av
en dirac och av en konstant
Här visas beräkningen av fouriertransformen av en dirac-impuls samt fouriertransformen av en konstant (x(t)=1). I det senare fallet existerar inte fouriertransformen enligt grunddefinitionen, eftersom x(t) inte är absolutintegrerbar. Dock existerar den i distributionsmening, då vi accepterar dirac:er i frekvensdomänen.
- Fouriertransformen av en dirac-impuls (0:00)
- Fouriertransformen av en konstant (3:55)
Fouriertransformen av
en cosinus
Här beräknas fouriertransformen av cos(w0*t), vilket är två diracimpulser – en vid vinkelfrekvensen w=–w0 och en vid w=w0 – där båda dirac:erna har vikten pi. Detta är en fouriertransform i distributionsmening.
- Härledning av fouriertransformen till en cosinus (0:00)
- Relation till fouriertransformen av en sinus (5:12)
- Tolkning av spektrumen för en konstant och för en cosinus (5:31)
- Jämförelse med fouriuerserieutvecklingen av en cosinus (6:29)
Fouriertransformanalys av LTI-system
Även nedanstående videor ingår i spellistan Signaler
& System – Fouriertransformanalys av signaler &
system på YouTube – de följer där direkt
efter ovanstående videor.
Faltningsteoremet och
frekvensfunktionen
Här härleds faltningsteoremet, med tillämpning i linjära tidsinvarianta system (LTI-system). Samtidigt definieras frekvensfunktionen H(w) för stabila LTI-system.
- Utgående från faltningen yzs(t) = (x*h)(t) i tidsdomänen visas att motsvarande förhållande Yzs(w) = X(w)∙H(w) gäller i frekvensdomänen (0:00)
- Frekvensfunktionen H(w) definieras
(12:08)
- Faltningsteoremet – allmän definition (12:52)
- Lösningsvägar för att beräkna yzs(t)
antingen i tidsdomänen eller via frekvensdomänen (14:25)
Amplitudkaraktäristik
och faskaraktäristik för LTI-system
Amplitudkaraktäristiken |H(w)| och faskaraktäristiken arg H(w) för ett stabilt LTI-system erhålls/definieras. Här visas även ett grafiskt exempel på hur amplitudspektrumet för LTI-systemets utsignal erhålls som |Y(w)| = |X(w)|∙|H(w)|, där |X(w)| är insignalens amplitudspektrum.
- Definition av LTI-systemets amplitudkaraktäristik och faskaraktäristik (0:00)
- Ett grafiskt exempel på amplitudskalning vid bandpassfiltrering (3:58)
- Definition av energispektrum för en signal och
energiöverföringsfunktionen för LTI-system (6:23)
Fouriertransformanalys
av ett LTI-system som beskrivs av en differentialekvation
Ett räkneexempel: För ett LTI-system, där förhållandet mellan utsignalen och insignalen beskrivs av en differentialekvation, så visas följande för LTI-systemet (klicka på tiderna för att komma direkt till motsvarande deluppgift):
- Frekvensfunktionen H(w) beräknas (00:00)
- Amplitudkaraktäristiken |H(w)| skisseras och filtertypen anges (11:04)
- Impulssvaret h(t) beräknas och skisseras (20:16)
- Kausalitetsegenskapen anges (26:08)
Senast uppdaterad: 2020-11-11