Se nedanstående videor innan aktuell föreläsning, i den ordning de visas nedan!
I första hand rekommenderas du att se videorna på YouTube, genom att klicka på rubriken ovanför varje video.

• På YouTube finns länkar i beskrivningstexten till de olika avsnitten i videorna, vilket gör det enklare att hitta och se ett avsnitt i taget.
• Det är även möjligt att se videorna direkt, här på webbsidan.
  
  

Repetition, laplacetransformen

Du förväntas att redan ha det mesta om laplacetransformer i kap. 4.1–4.2 som förkunskap.
Om du vill fräscha upp dina grundläggande kunskaper, så kan du se följande fyra videoklipp som en repetition inför föreläsningen (från TSDT84 HT1, fö 3). Videorna finns även upplagda i spellistan Signaler & System – Laplacetransformen, härledning och relationen till fouriertransformen på YouTube, i den ordning de bör ses.
I videorna ser du vilken typ av beteckningar som används i Signaler & system-kursen och boken, så jag rekommenderar alla studenter att åtminstone kolla upp detta i videorna.

Härledning av laplacetransformen

Härledning av den enkelsidiga laplacetransformen utgående från fouriertransformen.

Laplacetransformexempel

 

Ett räkneexempel (Exempel 1) som visar hur man beräknar laplacetransformen av en signal – exponentialfunktionen x(t) = e^2tu(t).

Laplacetransformexempel 2 och 3

 
Här visas ytterligare två exempel på beräkning av enkelsidig laplacetransform:

• Exempel 2: Laplacetransformen av y(t) = e^–3tu(t)  (0:00)
• Exempel 3: Laplacetransformen av g(t) = cos(w₀t)u(t)  (4:48)

Relationen mellan fouriertransformen och laplacetransformen

Denna video har två syften, vilket sägs i videons inledning:

1. Det är en repetition av fouriertransformen och laplacetransformen till för tidskontinuerliga signaler, som speciellt tar upp relationen mellan transformerna.
2. Det är en introduktion inför nästa videoklipp, som handlar om fouriertransformen till tidsdiskreta signaler. Detta kommwr senare i kursen, så du behöver inte reflektera över detta nu.
   

• X(w) = X(s=jw) om jw-axeln ligger i konvergensområdet för X(s). Exempel: x(t) = e^–2tu(t)  (0:00)
• Jämförelse mellan fouriertransformen F{u(t)} och laplacetransformen L{u(t)} (5:27)
  
• Jämförelse mellan fouriertransformen F och laplacetransformen L av frekvenssignaler (7:58)
• F{1}  (7:58)
• F{cos(w₀)}  (10:06)
• F{cos(w₀)u(t)} och L{cos(w₀)u(t)}  (11:58)
• F{e^–atcos(w₀)u(t)} och L{e^–atcos(w₀)u(t)}  (14:48)
  

Laplacetransformanalys av LTI-system

Videorna finns även upplagda i spellistan Signaler & System – Laplacetransformanalys på YouTube, i den ordning de bör ses. Flera av videorna är från en annan av mina kurser i våras, då jag började använda den här inspelningstekniken.

Laplacetransformen av en derivata

Efter en motiverande inledning, relaterad till lösande av differentialekvationer med begynnelsevillkor, härleds den enkelsidiga laplacetransformen av en derivata, andraderivatan och n:te derivatan av en signal/funktion.

I texten under videon kan du klicka på nedanstående tider för att komma direkt till respektive avsnitt:

• Inledning – om behovet av enkelsidig laplacetransform av differentialekvationer med begynnelsevillkor – (0:00)
• Kort repetition av laplacetransformen och dess konvergensvillkor  (4:42)
• Härledning av den enkelsidiga laplacetransformen av en derivata  (7:54)
• Härledning av den enkelsidiga laplacetransformen av derivator av högre ordning  (17:38)

Lösning av en differentialekvation med hjälp av laplacetransformen

Här går jag igenom ett exempel på hur man löser en differentialekvation med begynnelsevillkor med hjälp av den enkelsidiga laplacetransformen.
Differentialekvationen beskriver förhållandet mellan utsignalen y(t) och insignalen x(t) för ett kausalt LTI-system, och för en given insignal beräknas den totala utsignalen y(t) = y_zi(t) + y_zs(t):

• Problemformulering med definition av systemets zero-input response y_zi(t) och zero-state response y_zs(t)=(x*h)(t) (0:00)
• Laplacetransformering av differentialekvationen (1:31)
• Y(s) = Y_zi(s) + Y_zs(s)  (5:38)
• LTI-systemets systemfunktion H(s) = Y_zs(s)/X(s) (7:34)
• Invers laplacetransformering av Y(s) till y(t) = y_zi(t) + y_zs(t)  (9:30)
  
• Omskrivning till och jämförelse med y(t) = y_h(t) + y_p(t), summan av differentialekvationens homogena lösning respektive partikulärlösning (18:04)