Diskreta fouriertransformen, DFT

( ⬆︎⬆︎ Klicka på rubriken ovan för att se videon på YouTube – eller se nedan  ⬇︎⬇︎ )

 
 
Härledning av den diskreta fouriertransformen, DFT, och motsvarande inverstransform IDFT. Härledningen bygger på egenskapen att en sampling i tidsdomänen resulterar i en periodisk upprepning i frekvensdomänen och vice versa.

Den första halvan av videon utgör en motiverande bakgrund till DFT:n, som bland annat syftar till att ge en intuitiv förståelse för varför DFT:n och IDFT:n "ser ut" som de gör. Detta är en utvidgning av tidigare moment i Signaler & system-kursen:

• 0:00 – Sampling av tidssignalen x(t), vilket ger x[n], resulterar i en periodisering av dess fouriertransform (frekvensspektrum) X(𝜔).
• 15:16 – Sampling av fouriertransformen X(𝜔) resulterar i en periodisering av dess inverstransform x(t).

I den andra halvan av videon kommer vi in på den diskreta fouriertransformen och dess invers – DFT & IDFT:

• 24:21 – Sampling av en periodisk tidskontinuerlig signal resulterar i en periodisering av dess frekvensdiskreta spektrum, dvs. dess fourierseriekoefficienter.
• Detta samband ger att den samplade periodiska signalen utgör en invers diskret fouriertransform, IDFT.
• 39:37 – Sampling av den periodiska frekvenskontinuerliga fouriertranformen av x[n] resulterar i en periodisering av x[n].
• Detta samband ger att det samplade periodiska frekvensspektrumet  utgör en diskret fouriertransform, DFT.

---

Videosammanfattning

Från 0:00: Inledningsvis utgår vi från tidsdomänen, där vi har en tidskontinuerlig signal x(t), som har ett frekvenskontinuerligt spektrum (en fouriertransform) X(𝜔 ). Här visas det som vi redan känner till från föregående föreläsning:

1. När x(t) samplas med sampelperioden T sek, så erhålls den tidsdiskreta signalen x[n], med frekvenskontinuerlig fouriertransform X¯(𝜔) (X¯ = X med streck över i videon).
   
   
2. Som en konsekvens av samplingen i tidsdomänen, så sker en periodisering i frekvensdomänen, sådan att X¯(𝜔) är lika med en skalad periodisk upprepning av X(𝜔).
   Perioden är lika med 𝜔_s = 2𝜋/T och är därför proportionell mot 1/sampelperioden (𝜔_s ∝ 1/T).
   
   Detta känner vi igen, från föregående föreläsning, som Poissons summationsformel.
   Om samplingsteoremet är uppfyllt så sker inget överlapp av de periodiska upprepningarna i frekvensdomänen.
   

Från 15:16 undersöks/härleds i stället vad som händer i tidsdomänen när man samplar i frekvensdomänen. Vi utgår från samma förhållande som i den inledande delen ovan – men nu utgående från frekvensdomänen, där vi har ett frekvenskontinuerligt spektrum (en fouriertransform) X(𝜔) till en tidskontinuerlig signal x(t):

1. När X(𝜔) samplas med sampelperioden 𝜔₀ rad/sek, så erhålls det frekvensdiskreta spektrumet D_n, som vi känner igen som komplexa fourierseriekoefficienter till en T₀-periodisk signal x_To(t).
   
   
2. Som en konsekvens av samplingen i frekvensdomänen, så sker en periodisering i tidsdomänen, sådan att x_To(t) är lika med en skalad periodisk upprepning av x(t).
   Perioden är lika med T₀ = 2𝜋/𝜔₀ och är därför proportionell mot 1/sampelperioden (T₀ ∝ 1/𝜔₀).
   
   Om spektralsamplingsteoremet är uppfyllt så sker inget överlapp för de periodiska upprepningarna i tidsdomänen.

Från 24:21 undersöks/härleds vad som händer i frekvensdomänen när man samplar en periodisk tidskontinuerlig signal i tidsdomänen.

I tidsdomänen utgår vi från en tidskontinuerlig T₀-periodisk signal x_To(t) som, vilket vi redan känner till, har ett frekvensdisktret spektrum – nämligen de komplexa fourierseriekoefficienterna D_n.
(Här används r i stället för n som indexvariabel för de komplexa fourierseriekoefficienterna, eftersom n är "upptagen" – den används som tidsvariabel i tidsdomänen):

1. När x_Tox  (t) samplas med sampelperioden T sek, så erhålls den tidsdiskreta N₀-periodiska signalen x_n = x_To(nT).
   
   
2. Som en konsekvens av samplingen i tidsdomänen, så sker en periodisering i frekvensdomänen, sådan att X_r är lika med en skalad N₀-periodisk upprepning av D_r.
   Perioden är lika med N₀ = T₀/T och är därför proportionell mot 1/sampelperioden (N₀ ∝ 1/T).
   
   Här kan man också, liksom i de två inledande delarna ovan, formulera ett samplingsteorem som beskriver om ett blir överlapp av de periodiska upprepningarna av D_r eller ej, men det fokuserar vi inte på här.
   

Här finns några nya centrala resultat:

• x_n definieras som den inversa diskreta fouriertransformen av X_r, dvs. x_n = IDFT{X_r }.
  
  
• Både x_n  och X_r är N₀-periodiska, där följande samband gäller:
  T₀ = N₀･T  ⟹  𝜔_s = N₀･𝜔₀,  där 𝜔_s = 2𝜋/T är lika med sampelvinkelfrekvensen.
  

I videons fjärde och avslutande del, från 39:37, undersöks/härleds slutligen vad som händer i den tidsdiskreta tidsdomänen när man samplar ett frekvenskontinuerligt 𝜔_s-periodiskt spektrum X¯(𝜔) i frekvensdomänen. I tidsdomänen har vi en allmän tidsdiskret signal x[n]:

1. När X¯(𝜔) samplas med sampelperioden 𝜔₀ rad/sek i N₀ sampel per period, så erhålls ett frekvensdiskret N₀-periodiskt spektrum, som vi i det föregående avsnittet kallade X_r.
   
   
2. Som en konsekvens av samplingen i frekvensdomänen,  så sker en periodisering i tidsdomänen, sådan att x_n är lika med en periodisk upprepning av x[n].
   Perioden är lika med N₀ = 𝜔_s /𝜔₀  och är därför proportionell mot 1/sampelperioden (N₀ ∝ 1/𝜔₀).
   
   Även här kan man formulera ett spektralsamplingsteorem som beskriver om ett blir överlapp för de periodiska upprepningarna av x[n] eller ej, men det fokuserar vi inte på här.
   

I videon kommer vi slutligen fram till följande centrala resultat:

• X_r  definieras som den diskreta fouriertransformen av x_n,  dvs. X_r = DFT{x_n }.

Följande definition av IDFT och DFT gäller alltså:

Last updated: 2022-11-15