Hide menu

Fouriertransformanalys av ett LTI-system som beskrivs av en differentialekvation

( ⬆︎⬆︎ Klicka på rubriken ovan för att se videon på YouTube – eller se nedan  ⬇︎⬇︎ )

 
 
Ett räkneexempel: För ett LTI-system, där förhållandet mellan utsignalen och insignalen beskrivs av en differentialekvation, så visas följande för LTI-systemet (klicka på tiderna för att komma direkt till motsvarande deluppgift a–d):
  1. Frekvensfunktionen H(𝜔) beräknas (00:00)
  2. Amplitudkaraktäristiken |H(𝜔)| skisseras och filtertypen anges (11:04)
  3. Impulssvaret h(t) beräknas och skisseras (20:16)
  4. Kausalitetsegenskapen anges (26:08)

Videosammanfattning



I videon går jag igenom ett större räkneexempel – där fouriertransformen används som verktyg för att lösa de olika deluppgifterna. Följ med i beskrivningarna och skärmavbildningarna nedan, samtidigt som du ser på videon!
För LTI-systemet i videon beskrivs förhållandet mellan utsignalen y(t) och insignalen x(t) av en differentialekvation, och utgående från denna erhålls – med hjälp av fouriertransformen – det som efterfrågas i de olika deluppgifterna.

Uppgift a):
Frekvensfunktionen H(𝜔) beräknas (från 00:00).
Först nämner jag något om kravet på impulssvarets absolutintegrerbarhet för att frekvensfunktionen ska existera för LTI-systemet – se skärmavbildningen ovan.




Fortsättning, uppgift a) ovan:
En viktig/nödvändig transformegenskap: Derivering i tidsdomänen motsvaras av multiplikation med j𝜔 i frekvensdomänen.




Fortsättning, uppgift a) ovan:
Här kommer vi slutligen fram till den efterfrågade frekvensfunktionen H(𝜔). Notera att vi alltid betraktar LTI-systemet som energifritt när frekvensfunktionen och/eller impulssvaret beräknas, även om det i en uppgift står att en differentialekvation har vissa initialtillstånd.

I videon erhålls H(𝜔) som Yzs(𝜔) då X(𝜔)=1, men notera att den formella definitionen av frekvensfunktionen till ett LTI-system (som du fortsättningsvis alltid kan/bör följa är H(𝜔) := Yzs(𝜔)/X(𝜔)  (som förstås kommer från sambandet Yzs(𝜔) = X(𝜔)H(𝜔) ).




Uppgift b):
Amplitudkaraktäristiken |H(𝜔)| skisseras och filtertypen anges i skärmavbilden ovan (från 11:04)




Uppgift c):
Impulssvaret h(t) beräknas och skisseras  (från 20:16)
Uppgift d):
Kausalitetsegenskapen anges  (från 26:08)


Last updated: 2022-11-06